Question

判断下列函数在给定区间上是否存在零点．

(1)f(x)＝x²－3x－18，x∈[1，8]；

(2)f(x)＝x³－x－1，x∈[－1，2]；

(3)f(x)＝log₂(x＋2)－x，x∈[1，3]．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0， 　　∴f(1)·f(8)＜0．故f(x)＝x2－3x－18在[1，8]上存在零点． 　　解法2：∴令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6， 　　∴函数f(x)＝x2－3x－18在[1，8]上存在零点． 　　(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0， 　　∴f(－1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x3－x－1在[1，2]上存在零点． 　　(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0， 　　f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0． 　　∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1，3]上存在零点．

提示：

分析：利用函数零点的存在性或图象进行判断． 　　评注：(1)题利用零点的存在性定理或直接求出函数零点，(2)(3)利用零点的存在性定理求解．