Question

【题目】已知定点，定直线，动点到点的距离比点到的距离小1.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点的直线与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x．（2）﹣12＜k＜0．

【解析】

（1）根据条件结合抛物线的定义即可求轨迹C的方程；

（2）设直线方程联立直线和抛物线方程转化为一元二次方程，利用,即可求出斜率的范围．

（1）设P（x，y），由题意可得，P在直线x+2＝0右边，所以P点到直线x＝﹣1和到F（1，0）距离相等，所以P点的轨迹是顶点在原点，F为焦点，开口向右的抛物线，

∵F和顶点的距离1，2p＝4，所以轨迹C的方程是y2＝4x．

（2）由题意知直线l的斜率存在设为k，所以直线l的方程y＝kx+2（k≠0），M（），N（）联立得消去x得ky2﹣4y+8＝0

∴，，且△＝16﹣32k＞0即k．

∴（）（）＝（）（）+y1y2

∵，∴﹣12＜k＜0，满足k，

∴﹣12＜k＜0．