Question

【题目】如图在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，Q为四边形的外接圆的圆心，平面，M在棱上，且.

（1）证明：平面.

（2）若与平面所成角为60°，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1) 连接，交于点O，连接，再根据三角形中的性质证明即可.

(2) 根据线面角的性质可得与平面所成角为，再以O为坐标原点的空间直角坐标系，利用空间向量求解与平面所成角的正弦值即可.

（1）证明：如图，连接，交于点O，连接.

∵，∴，则，

∴O为的中点.

∵Q为四边形的外接圆的圆心，∴Q为等边的外接圆的圆心，

∴Q为等边的重心，则.

又，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：∵平面，

∴与平面所成角为，

则.

建立如图所示的以O为坐标原点的空间直角坐标系，

∴，

∴.

设平面的法向量为，

则，即

令，得.

设与平面所成角为，∵，

∴，

∴与平面所成角的正弦值为.