Question

【题目】设为实数，.证明：

(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式其中，为正整数，满足；

(2)是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）用归纳法来构造数列和比满足对所有的.

取为满足下列式子的最小的：.

因此，对于每个，.

故 .

因为，，所以，.

从而，.

无穷乘积的唯一性可以由在上述递推步骤中必须满足式①得到.

事实上，若对于某一个有，则，.

于是，就不能收敛于1.

注意到，对于，有

.②

假设对于某些，有，则

，矛盾.

（2）由式②，知当乘积按上述方式终止时，是有理数.

另一方面，设是有理数，且.

下面证明：存在，使得.

若不然，则对于所有的有.

对每一个，将写成分数的形式（不必是最简形式），其中，，，一般地，，，为正整数.

为得到矛盾，只需证明数列是严格递减的.

事实上，，

这是由于.