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    在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜
    		2
    )    ．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，
    π
    2
    ]
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    （1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
    （2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
    （3）当θ=900且a=
    		2
    2
    ．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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    （1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
    由θ=45°得，S△ADE=
    1
    2
    DE•EAsin45°=
    		2
    4
    ，
    ∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=
    		2
    4
    ．
    （2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
    过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，
    ∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
    又∵
    MM1
    AB
    =
    FM
    FA
    =
    CN
    CE
    =
    NN1
    EF
    ，∴MM1=NN1
    ∴四边形MNN1M1为平行四边形，
    ∴MN∥N1M1，又MN?面BCF，N1M1?面BCF，∴MN∥面BCF．
    证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则
    CN
    NE
    =
    FM
    MA
    =
    FG
    GE
    ，∴NG∥CF．
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    又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
    同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
    ∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．
    （3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，
    ∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，
    ∵θ=900且a=
    		2
    2
    ．∴NQ=
    1
    2
    ，MQ=
    		(
    1
    2
    )    2    +(
    		2
    2
    )    2
    =
    		3
    2
    ∴MN=
    		2
    2
    ，--
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    --
    ∴cos∠NMQ=
    QM2+MN2-NQ2
    2MN•QM
    =
    		6
    3
    ．
    即MN与AC所成角的余弦值为
    		6
    3
    ．
    证法二：∵θ=900且a=
    		2
    2
    ．
    分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(
    1
    2
    ，
    1
    2
    ，0)，N(
    1
    2
    ，0，
    1
    2
    )，得
    AC
    =(-1，-1，1)，
    MN
    =(0，-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ，
    ∴cos＜
    AC
    ，
    MN
    ＞=
    1
    		3
    •
    		2
    2
    =
    		6
    3
    ，
    所以与AC所成角的余弦值为
    		6
    3
    ．
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    		2
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    		2
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    FB
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