Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）．（2）或．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，得出的解析式，求切线方程，即先求在处的值为切线的斜率，由点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）将题意等价于在区间上， 的最大值大于或等于的最大值”利用单调性可求出在上的最大值，在利用分类讨论的思想分为， ， 三种情形，求出其最大值，再进行比较即可.

试题解析：解：（Ⅰ）当时，因为，

所以， ．

又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．

（Ⅱ）“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上， 的最大值大于或等于的最大值”．

因为，所以在上的最大值为．

令，得或．

① 当，即时，

在上恒成立，在上为单调递增函数，

的最大值为,

由，得．

② 当，即时，

当时， ， 为单调递减函数，

当时， ， 为单调递增函数．

所以的最大值为或,

由，得；由，得．

又因为，所以．

③ 当，即时，

在上恒成立， 在上为单调递减函数，

的最大值为，由，得，

又因为，所以．

综上所述，实数的值范围是或．