Question

【题目】对任意，给定区间，设函数表示实数与所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值.

（1）当时，求出的解析式；时，写出绝对值符号表示的解析式；

（2）求，，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）当时，求方程的实根.（要求说明理由，）

Answer 1

【答案】（1），；，；（2）是偶函数，证明见解析；（3）实根为.

【解析】

（1）可知区间中唯一整数为，根据定义可得出函数在区间上的解析式，同理可得出函数在区间上的解析式；

（2）根据题中定义求得和的值，可得出，然后利用函数奇偶性的定义证明函数为偶函数，即可得出结论；

（3）要求方程的根，即求的根，对分、、三种情况讨论，去绝对值符号，即可求得方程根的个数.

（1）当时，中唯一整数为，

由定义知，.

当时，在中唯一整数为，

由定义知，；

（2），，，，下面判断是偶函数.

对任何，存在唯一，使得，则，

由可以得出，

即，

由（1）的结论，，即函数是偶函数；

（3），即，其中.

当时，，所以方程没有大于的实根；

容易验证为方程的实根.

当时对应的，方程变为，

设，

则，

故当时，函数为减函数，，

方程没有满足的实根；

当时，对应的，方程变为，

设，明显函数为减函数.

，

，则，所以，，

所以方程没有满足的实根.

综上，若时，方程有且仅有一个实数根，实根为.