Question

【题目】如图所示的多面体ABCDEF满足：正方形ABCD与正三角形FBC所在的两个平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA.

（1）证明：平面EFD⊥平面ABFE；

（2）求二面角E﹣FD﹣C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先证明AB⊥平面BCF，然后可得平面EFD⊥平面ABFE；

（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求.

（1）由题可得，因为ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形，所以BC∥AD，BC＝AD，FB＝BC且∠FBC＝60°，

又因为EA∥FB，2EA＝FB，所以∠EAD＝60°，在三角形EAD中，根据余弦定理可得：ED⊥AE.

因为平面ABCD⊥平面FBC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面FBC＝BC，且AB平面ABCD，所以AB⊥平面BCF，

因为BC∥AD, E A∥FB，FB∩BC＝B，且FB、BC平面FCB，EA、AD平面EAD，所以平面EAD∥平面FBC，所以AB⊥平面EAD，

又因为ED平面EAD，所以AB⊥ED，

综上：ED⊥AE，ED⊥AB，EA∩AB＝A且EA、AB平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE，

又DE平面DEF，所以平面EFD⊥平面ABFE.

（2）如图，分别取BC和AD的中点O，G，连接OF，OG，

因为BO＝OC且三角形FBC为正三角形，所以FO⊥BC，

因为AG＝GD，BO＝OC，所以OG∥AB，

由（1）可得，AB⊥平面FBC，则OG⊥平面FBC，

故OF、OB、OG两两垂直，分别以OB、OG、OF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BC＝4，则，

设平面DEF的法向量为，平面DCF的法向量为，

则，

则，

所以

又二面角E﹣FD﹣C是钝二面角，所以二面角E﹣FD﹣C的余弦值为.