Question

（2008•咸安区模拟）已知体积为

3

的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O，满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，则该三棱锥外接球的体积为

16

3

π

．

Answer 1

分析：由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．

解答：解：正三棱锥D-ABC的外接球的球心O满足

OA

+

OB

=

CO

，
说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：

3R

2

底面三角形ABC的边长为：

3

R
正三棱锥的体积为：

1

3

×

3

4

×（

3

R）²×R=

3

解得R³=4，则该三棱锥外接球的体积为

4

3

πR 3=

16

3

π．
故答案为：

16

3

π．

点评：本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．