Question

数列{a_n}前n项和为Sn=n2+2n，等比数列{b_n}各项为正数，且b₁=1，{ban}是公比为64的等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求数列{a_n}的通项公式，进而可得{b_n}的通项公式；
（2）由题意可知

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由裂项相消法可求和为

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，显然小于

3

4

．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-{(n-1)2+2(n-1)}=2n+1
经验证，当n=1时，上式也适合，故a_n=2n+1．
设{b_n}公比为q，则

ba2

ba1

=

b5

b3

=q2=64，
因为{b_n}各项为正数所以q=8，∴bn=8n-1，
故数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为：a_n=2n+1，bn=8n-1
（2）由题意可知

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

故原不等式得证．

点评：本题为数列的综合应用，涉及通项公式和裂项相消法求和，以及不等式的证明，属中档题．