Question

【题目】如图①，正方形的边长为4，，，把四边形沿折起，使得平面，是的中点，如图②

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

首先结合已知底面，所以有，再结合菱形的性质即可得到，那么（1）便不难求证了。对于（2）首先建立如图所示的空间直角坐标系，分析可知，为平面的一个法向量，再求出平面的法向量，然后根据进行求解即可。

解：（1）证明：连接，因为，底面，

所以底面，又底面，所以，

因为，所以四边形为菱形，所以，

又，平面，平面，所以平面.

（2）由（1）知四边形为菱形，，，

设，所以，，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则所以令，则，，

即平面的一个法向量为，

易知平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，由图易知，

所以.