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现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；…依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n-1（n∈N）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为a_n和b_n．
（1）试写出a₁和b₁的值．（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差b_n-a_n．（3）试求出第n-1（n∈N）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度a_n、b_n关于n的表达式．

解：（Ⅰ）依题设，a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）∵a_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a_n-1+ $\text{[math]}$ b_n-1，
b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b_n-1+ $\text{[math]}$ a_n-1．
∴b_n-a_n=（ $\text{[math]}$ b_n-1+ $\text{[math]}$ a_n-1）-（ $\text{[math]}$ a_n-1+ $\text{[math]}$ b_n-1）= $\text{[math]}$ （b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知数列{b_n-a_n}为首项是b₁-a₁=10%，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁） $\text{[math]}$ =10% $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）b_n-a_n= $\text{[math]}$ ①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%= $\text{[math]}$ ②
联立①②得a_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，b_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据题设知条件知a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）由a_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a_n-1+ $\text{[math]}$ b_n-1，b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b_n-1+ $\text{[math]}$ a_n-1．知b_n-a_n=（ $\text{[math]}$ b_n-1+ $\text{[math]}$ a_n-1）-（ $\text{[math]}$ a_n-1+ $\text{[math]}$ b_n-1）= $\text{[math]}$ （b_n-1-a_n-1）（n≥2）．由此能够用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差b_n-a_n．
（Ⅲ）由b_n-a_n= $\text{[math]}$ 和a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%= $\text{[math]}$ 联立能够求出a_n和b_n．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；…依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为a_n和b_n．
（1）试写出a₁和b₁的值．（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差b_n-a_n．（3）试求出第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度a_n、b_n关于n的表达式．

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（08年湖南六校联考理）长、株、潭新工业区某品牌饮料生产企业，其产品开发中心主要从事新产品的研制和开发，该中心的第三实验室的主要任务是对新开发的不同口感的饮料进行口感调和试验。口感的度量指标称为“口感度”，即该饮料中所含某主要成分的百分比。现有甲、乙两个容器分别盛有口感度为10%、20%的某种饮料各500ml，实验人员对它们进行口感调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；……依照上述操作程序反复进行调和试验，记第次调和后甲、乙两溶液中饮料的口感度分别为和。