Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点S(0，-

1

3

)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把抛物线和直线方程联立消去y，根据△=0求出b，再根据两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形得出a和b的关系式，求得a．
（2）分别求出L与x轴平行时和L与x轴垂直时的圆的方程，联立可求得两圆的切点，进而推断所求的点T如果存在只能是（0，1）．当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）；当直线L不垂直于x轴设直线L的方程y=kx-

1

3

与椭圆方程联立求得

TA

•

TB

=0证明出TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．

解答：解：（1）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y得：x2+(2b-4)x+b2=0
因直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，
∵圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴a=

2

b=

2

故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1.
（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
记点A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因为

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)
所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．

点评：本题主要考查直线与椭圆的综合问题．常需要把直线与曲线的方程联立，利用韦达定理找到解决问题的突破口．