Question

（本小题满分14分）

       平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）

    解：（I）设动点为M，其坐标为，

    当时，由条件可得

即，

又的坐标满足

故依题意，曲线C的方程为

当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；

当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。

（II）由（I）知，当m=-1时，C₁的方程为

当时，

C₂的两个焦点分别为

对于给定的，

C₁上存在点使得的充要条件是

②

①

由①得由②得

当

或时，

存在点N，使S=|m|a²；

当

或时，

不存在满足条件的点N，

当时，

由，

可得

令，

则由，

从而，

于是由，

可得

综上可得：

当时，在C₁上，存在点N，使得

当时，在C₁上，存在点N，使得

当时，在C₁上，不存在满足条件的点N。