Question

已知抛物线x²=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且

AP

=λ

PB

(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），对抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x
（法一）可得过抛物线上A、B两点的切线方程分别为y=

1

2

x1(x-x1)+y1y=

1

2

x1x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，联立方程可得M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，由

AP

=λ

PB

(λ＞0)，得

-x1=λx2 8-y1=λ(y2-8)

，结合抛物线的方程整理可求
（法二）由直线AB与x轴不垂直可设AB：y=kx+8．.由

y=kx+8 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32，利用导数知识可得过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=

1

2

x1，k2=

1

2

x2，从而可写出切线MA．MB的方程，联立方程可求M
（II）考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP=∠BQP，则点Q必定在y轴上，且有K_AQ+K_BQ=0对一切k恒成立，代入整理可求

解答：解：（I）方法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
对抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x
所以，过抛物线上A、B两点的切线方程分别为：y=

1

2

x1(x-x1)+y1，y=

1

2

x2(x-x2)+y2，即y=

1

2

x1x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，解得M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
又

AP

=λ

PB

(λ＞0)，得（-x₁，8-y₁）=λ（x₂，y₂-8），即

-x1=λx2 8-y1=λ(y2-8)

将式（1）两边平方并代入y1=

1

4

x12，y2=

1

4

x22得y₁=λ²y₂，再代入（2）得λy₂=8，解得y1=8λ，

y

2

=

8

λ

且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-32，所以，点M的纵坐标为-8．
方法2：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
.由

y=kx+8 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=

1

2

x1，k2=

1

2

x2，∴MA：y-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)；MB：y-

1

4

x22=

1

2

x2(x-x2)
解得：yM=

- 1 4 x 2 1 x2+ 1 4 x1 x 2 2

x2-x1

=

1

4

x1x2=-8
即点M的纵坐标为定值-8
（II）考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP=∠BQP，则点Q必定在y轴上，
设点Q（0，t），此时kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，
结合（1）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
故kAQ+kBQ=

x12 4 -t

x1

+

x22 4 -t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-8，即Q（0，-8）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP

点评：本题考查抛物线的应用，及直线与抛物线的位置关系的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用方程的思想进行求解．