Question

【题目】如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（3）求二面角O﹣AC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】(1)证明过程详见解析（2） （3）

【解析】

（1）设是的中点，由等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可证明，从而证明平面；（2）利用公式 ，直接求异面直线与所成角的的余弦值，然后求出角的大小；（3）利用射影面的面积与被射影面的面积的比，求二面角的余弦值，从而可得二面角的大小．

（1）设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点，

所以有AO⊥BD，可求得AO=1，CO=，又有AC=2

所以∠AOC=90°，即AO⊥CO

BD，CO是平面BCD内两条相交直线，故有AO⊥平面BCD．

（2）由（1）可知BD⊥面AOC，

所以面BCD⊥面AOC，AO=1，CO=，AC=2

A点在BCD面内的投影为O，

cos＜AB，CD＞=cos∠ABDcos∠BDC==

异面直线AB与CD所成角的大小为：arccos．

（3）三角形AOC的面积为： =；三角形ADC的面积为： =；

所以二面角O﹣AC﹣D的余弦为：,

二面角O﹣AC﹣D的大小为：arccos.