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    已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

     

    【答案】

    (1) +=1 (2) 直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点，理由见解析

    【解析】

    解:(1)因为焦距为4,

    所以a2-b2=4.

    又因为椭圆C过点P(,),

    所以+=1,

    故a2=8,b2=4,

    从而椭圆C的方程为+=1.

    (2)一定有唯一的公共点.

    由题意,E点坐标为(x0,0).

    设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).

    再由AD⊥AE知, ·=0,

    即xDx0+8=0.

    由于x0y0≠0,故xD=-.

    因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G（,0）.

    故直线QG的斜率kQG==.

    又因Q(x0,y0)在椭圆C上,

    所以+2=8.①

    从而kQG=-.

    故直线QG的方程为

    y=-（x-）.②

    将②代入椭圆C方程,得

    (+2)x2-16x0x+64-16=0.③

    再将①代入③,化简得

    x2-2x0x+=0.

    解得x=x0,y=y0,

    即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.

     

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    x2
    m2
    -
    y2
    n2
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    ④对于任意的非零实数λ2，曲线C2都有相同的离心率．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

    (1)求椭圆的方程；

    (2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值.

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练22练习卷（解析版） 题型：解答题

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    (1)求椭圆C的方程;

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    科目：高中数学 来源：山东省济南市2010届高三第二次模拟考试数学文 题型：选择题

    （本小题满分12分）

           已知椭圆C: +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（2，-3）．

       （1）求椭圆C的方程；

       （2）求椭圆以M（-1，2）为中点的弦所在直线的方程．

     

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