Question

【题目】已知双曲线的左、右顶点分别为，焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点的直线交双曲线右支于另一点，交椭圆于另一点，记，的面积分别为，若，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由双曲线的性质可得的坐标，即可得椭圆中的值，结合离心率可得的值，进而可得结果.

（2）设，，直线方程，分别将直线与双曲线的方程，直线与椭圆的方程联立求得，的值，根据面积关系可得为和的中点，即，代入解出的值即可.

（1）由题意得，，所以在焦点在轴上椭圆中，

又∵椭圆离心率，结合，可得，

∴椭圆的方程为.

（2）设，其中，，

由题意可得直线斜率一定存在，故可设直线方程，

由得，

又∵，即，

由得，

又∵，即，

，的面积分别为，满足，

可得为和的中点，即，

代入得，

解得