Question

【题目】某市在精准扶贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”.已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋没的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米.埋设管道前先挖掘一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切.设.

（1）为了减少农田的损毁，则当为何值时，挖掘的土方量最少？

（2）水管用吊车放入渠底前需了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算长度.

Answer 1

【答案】（1）时，挖掘的土方量最少（2）长度约为1米

【解析】

(1) 显然取最小覆土厚度等于0.5米，两根管道最近距离等于0.25米时梯形面积最小, 设圆与底切于点，连接，则，过点作，垂足为,然后将和用表示后,求出面积关于的表达式,然后利用基本不等式求出面积取最小值时的,并且此时满足,故即为所求.

(2)在直角三角形求出后,在三角形中用余弦定理可求得.

（1）根据题意等腰梯形面积最小时，挖掘土方量最少，显然取最小覆土厚度等于0.5米，两根管道最近距离等于0.25米时梯形面积最小.设圆与底切于点，连接，则，过点作，垂足为.如图:

因为，所以，

直角三角形和直角三角形中，米，米，

所以，

所以，

所以

,

所以

.

当且仅当，即时等号成立，

此时,,且,符合题意.

所以时，挖掘的土方量最少.

（2）由（1）知，，在直角三角形中，

米，

在三角形中，，米，由余弦定理得；

，所以长度约为1米.