Question

多面体ABCDEF的直观图及三视图分别如图所示,已知点M在AC上,点N在DE上,且AM∶MC=DN∶NE=a.

         

(1)求证:MN∥平面BCEF;

(2)当a=1时,求二面角D—MN—F的余弦值的绝对值.

Answer 1

解：(1)由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ABF—DCE.

且AB=BC=AF=2,CE=BF=2,∠BAF=90°,

在CD上取一点G,DG∶GC=DN∶NE,连结MG,NG.则

∵AM∶MC=DN∶NE=a,

∴NG∥CE,MG∥BC.

∴平面MNG∥平面BCEF.

∴MN∥平面BCEF.

(2)∵a=1,

∴M,N分别是AC、DE的中点.

以AB,AF,AD分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则有关各点的坐标分别是D(0,0,2),F(0,2,0),M(1,0,1),N(0,1,2)

∴=(0,1,0),=(-1,1,1),=(0,-1,2).

设平面DMN的法向量m=(1,y,z),则·m=0,·m=0.

∴

∴

∴m=(1,0,1).

设平面MNF的法向量为n=（1,y₁,z₁）,则·n=0，·n=0.

∴

∴n=(1,,).

设二面角D—MN—F的平面角为θ,

则cosθ=.

∴二面角D—MN—F的余弦值的绝对值为.