Question

如图，ABCD是边长为3正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（1）设点M是线段BD上一点，且BD=3BM，证明：AM∥平面BEF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，利用三角形内分线段成比例定理的逆定理即可得出MN

∥

.

1

3

DE，从而得到AF

∥

.

MN，得到平行四边形AMNF，可得AM∥FN，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）由图可得V_多面体ABCDEF=V_B-ADEF+V_E-DBC．利用线面垂直的性质和四棱锥、三棱锥的  体积计算公式即可得出．

解答：（1）证明：取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，
∵BD=3BM，∴

BM

BD

=

BN

BE

=

1

3

．
∴DE∥MN，且DE=3MN，
∵AF∥DE，且DE=3AF，
∴AF∥MN，且AF=MN，
故四边形AMNF是平行四边形．
∴AM∥FN，
∵AM?平面BEF，FN?平面BEF，
∴AM∥平面BEF． 
（2）解：∵DE⊥平面ABCD，∴BD为BE在平面ABCD上的射影，
∴∠EBD=60°，∴在Rt△BDE中，可得DE=BDtan60°=3

2

×

3

=3

6

．
∵DE⊥平面ABCD，
∴平面ADEF⊥平面ABCD，且交线为AD
又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，即BA为四棱锥BADEF的高．
∵ADEF是直角梯形，∴SADEF=

(AF+DE)×AD

2

=

4 6 ×3

2

=6

6

．
∴VB-ADEF=

1

3

SADEF×AB=

1

3

×6

6

×3=6

6

．
又VE-DBC=

1

3

S△DBC×ED=

1

3

×

1

2

×32×3

6

=

9 6

2

．
∴V_多面体ABCDEF=V_B-ADEF+V_E-DBC=6

6

+

9 6

2

=

21 6

2

．

点评：熟练掌握三角形内分线段成比例定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的判定与性质定理、四棱锥与三棱锥的体积计算公式是解题的关键．