Question

【题目】若无穷数列满足： ，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.

（Ⅰ）若具有性质“”，且， ， ，求；

（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列， ， ， ，判断是否具有性质“”，并说明理由；

（Ⅲ）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中， ， 互质，求证： 具有性质“”.

Answer 1

【答案】（1）， （2）见解析（3见解析）

【解析】试题分析: （1）因为具有性质“”，所以， .再根据已知数据,求出即可; （2）设等差数列的公差为，由 ， ，故. 设等比数列的公比为，由 ， ，故，所以. 若具有性质“”，则， .又，故不具有性质“”;(3) 因为具有性质“”，所以， .①

因为具有性质“”，所以， .②,化简整理得， ,得证.

试题解析:解 ：（Ⅰ）因为具有性质“”，所以， .

由，得，由，得.

因为，所以，即.

（Ⅱ）不具有性质“”.

设等差数列的公差为，由 ， ，

得，所以，故.

设等比数列的公比为，由 ， ，

得，又，所以，故，

所以.

若具有性质“”，则， .

因为， ，所以，

故不具有性质“”.

（Ⅲ）因为具有性质“”，所以， .①

因为具有性质“”，所以， .②

因为， ， 互质，

所以由①得；由②，得，

所以，即.

②-①，得， ，

所以， ，

所以具有性质“”.