Question

设各项均为正数的数列的前n项和为S_n，已知，且对一切都成立．
（1）若λ=1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．

Answer 1

(1)；(2)．

试题分析：(1)本题已知条件是，我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式，变形为，这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型，因此首先由得
，又，这个式子可化简为，这样就变成我们熟悉的已知条件，已知解法了；(2)这种类型问题，一种方法是从特殊到一般的方法，可由成等差数列，求出，然后把代入已知等式，得，，这个等式比第(1)题难度大点，把化为，有当n≥2时，，整理，得，特别是可变形为，这样与第(1)处理方法相同，可得，即，从而说不得是等差数列．
试题解析：（1）若λ=1，则，．
又∵，∴，       2分
∴，
化简，得．①       4分
∴当时，．②
②-①，得，∴（）．       6分
∵当n=1时，，∴n=1时上式也成立，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，a_n=2^n-1（）．       8分
（2）令n=1，得．令n=2，得．       10分
要使数列是等差数列，必须有，解得λ=0．       11分
当λ=0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，，       13分
从而，
化简，得，所以．      15分
综上所述，（），
所以λ=0时，数列是等差数列．       16分与的关系，等差数列．