Question

已知函数f(x)=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设x∈[-

π

3

， 

π

3

]，求f（x）的值域和单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由T=

2π

w

可求得最小正周期．
（Ⅱ）先根据x的范围求得2x+

π

3

的范围，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，然后令

π

2

≤2x+

π

3

≤π求得x的范围，即可得到函数f（x）在x∈[-

π

3

， 

π

3

]上的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=-

3

(cos2x-sin2x)-2sinxcosx
=-

3

cos2x-sin2x=-2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

3

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．∴f（x）的值域为[-2， 

3

]．
∵当y=sin(2x+

π

3

)递减时，f（x）递增
．∴

π

2

≤2x+

π

3

≤π，即

π

12

≤x≤

π

3

．
故f（x）的递增区间为[

π

12

，

π

3

]．

点评：本题主要考查二倍角公式和两角和与差的公式的应用，考查对正弦函数的单调性、周期性的应用．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意对基础知识的积累．