Question

【题目】在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图， )都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点．

（I）求灯柱的高为多少米;

（II）设，且，求灯所照射路面宽度的最小值．

Answer 1

【答案】（I）（II）

【解析】试题分析：（1）连接， 设，则，在直角与直角中，根据直角三角形的性质可得，解得 ，从而可得；（2）以为坐标原点， ， 分别为轴，建立直角坐标系，可求出， ，所以，切化弦后利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式可得，结合，可得到取最小值.

试题解析：（1）连接， 设，则，

在直角中， ，

在直角中， ，

则有，解得 ，

在直角中， .

（2）以为坐标原点， ， 分别为轴，建立直角坐标系，则

，又

①若，由（1）知，

②若，

则直线的方程为，则；

直线的方程为，则；

所以

==

又，所以当且仅当时， 取最小值；

综合①②知，当时， 取最小值.