【题目】如图所示,直三棱柱中, , , ,点, 分别是的中点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连接, ,由中位线的性质可得: ,利用线面平行的判断定理即可证得平面.
(Ⅱ)结合直三棱柱的性质,分别以, , 所在直线为轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设,则, , ,据此可得平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则,求解方程可得,利用线面角的向量求法可得.
试题解析:
(Ⅰ)连接, ,则且为的中点,
又 为的中点, ,
又平面, 平面,故平面.
(Ⅱ)因为是直三棱柱,所以平面,得.因为, ,
,故.以为原点,分别以, , 所在直线为轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则, , ,
, , .
取平面的一个法向量为,
由得:令,得,
同理可得平面的一个法向量为,
二面角的大小为, ,
解得,得,又,
设直线与平面所成角为,则 .
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【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得: , , , ,
,线性回归模型的残差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=x+(精确到0.1);
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为
=;相关指数R2=.
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【题目】在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯,路宽为米,灯杆长4米,且与灯柱成角,路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩,灯罩轴线与灯的边缘光线(如图, )都成角,当灯罩轴线与灯杆垂直时,灯罩轴线正好通过的中点.
(I)求灯柱的高为多少米;
(II)设,且,求灯所照射路面宽度的最小值.
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【题目】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输出的的值为0,则输入的的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线的准线与轴交于,抛物线的焦点为,以为焦点,离心率的椭圆与抛物线的一个交点为;自引直线交抛物线于两个不同的点,设.
(Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
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