Question

9．如图，F₁、F₂是椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，若AF₁⊥BF₁，且∠AF₁O=$\frac{π}{3}$，则C₁与C₂的离心率之和为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用椭圆的对称性，求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：F₁、F₂是椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，
若AF₁⊥BF₁，且∠AF₁O=$\frac{π}{3}$，可得：A（$-\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$），B（$\frac{1}{2}c$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，可得$\frac{{e}^{2}}{4}$+$\frac{3}{\frac{4}{{e}^{2}}-4}=1$，
可得e⁴-8e²+4=0，解得e=$\sqrt{3}-1$．
代入双曲线方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，
可得：$\frac{{e}^{2}}{4}-\frac{3}{4-\frac{4}{{e}^{2}}}=1$，
可得：e⁴-8e²+4=0，解得e=$\sqrt{3}+1$，
则C₁与C₂的离心率之和为：2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，注意椭圆以及双曲线的对称性的应用是解题的关键．