Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2过点F2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）22．

【解析】

（1）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；

（2）设直线l1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线l2方程，求得D点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最小值．

（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，

所以F1（﹣2，0），F2（2，0），

又因为，所以P点坐标为，

所以，则，b＝2，

因此椭圆的方程为；

（2）设直线l1：yk（x﹣2）（k＞0），

所以点B的坐标为，

设A（xA，yA），D（xD，yD），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4k﹣8k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0，

所以xPxA，所以xA，

直线l2的方程为y（x﹣3），所以点D坐标为，

所以S△ABD（4﹣xA）|yB﹣yD|

＝2k222，

当且仅当2k，即k时取等号，

综上，△ABD面积的最小值22．