Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于轴上方一点，以为边作矩形，其中直线过原点．当点为椭圆的上顶点时，的面积为，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求矩形面积的最大值；

（3）矩形能否为正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）为正方形，理由见解析.

【解析】

（1）根据题意得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出，并求出，可得出四边形的面积关于的表达式，然后利用基本不等式可求得的最大值；

（3）由四边形为正方形得出，可得出，构造函数，利用零点存在定理来说明函数在时有零点，进而说明四边形能成为正方形.

（1）由题意：，解得，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，即，

联立得，

解得，，所以，

直线的方程为，即，所以，

所以矩形面积，

所以当且仅当时，矩形面积取最大值为；

（3）若矩形为正方形，则，即，则，

令，

因为，，又的图象不间断，

所以有零点，所以存在矩形为正方形.