Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底要为平行四边形， ，

, , 底面, 为上一点，且.

（1）证明： ;

（2）求二面角余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由底面,得，再利用余弦定理计算AD，根据勾股定理得，利用线面垂直判定定理可得，最后根据线面垂直性质定理得;（2）利用空间向量数量积求二面角的余弦值，先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定所求值.

试题解析：（1）证明：在中, .

不妨设,则由已知,得,

所以，所以,

所以，即,又底面,所以

所以.

(2)解：由（1）知, ,以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，设,

于是， , , ,

因为为上一点，且,所以，所以,

所以,，设平面的法向量，

则，令，则

又,,设平面的法向量

，令，则，

设二面角的大小为，由图可知，则.