Question

某公司今年初用25万元引进一种新的设备，设备投入运行后，每年销售收入为21万元．已知该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的和a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）该公司引进这种设备后，第几年后开始获利、第几年后开始亏损？
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？（

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）由已知中公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的和a_n的信息图，可得每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式的定义，易得答案．
（2）若纯收入与年数n的关系为f（n），则纯收入=n年销售总收入-固定投入-n年设备的维修和工人工资等费用的和，由此可以求出f（n）的关系式，然后根据二次不等式的解法，可以得到公司获利和亏损的年限范围．公司的年平均获利
（3）根据（2）中纯收入与年数n的关系式f（n），除以n后，即可得到年平均收入利用基本不等式，即可求出这种设备使用多少年时，该公司的年平均获利最大．

解答：解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的
等差数列，并求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n…（3分）
（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则：

f(n)=21n-Sn-25 =21n-[2n+ n(n-1) 2 •2]-25=20n-n2-25

…（5分）
由f（n）＞0得n²-20n+25＜0   解得：10-5

3

＜n＜10+5

3

…（6分）
又∵n∈N^*，所以n=2，3，4，…18．…（7分）
∴该公司从第2年开始获利；第19年后开始亏损．…（8分）
（3）年平均收入为

f(n)

n

=20-(n+

25

n

)≤20-2×5=10…（10分）
当且仅当n=5时，年平均收益最大．…（11分）
答：这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，数列的应用，其中在（2），（3）中一定要结合n∈N^*这个受实际情况限制的条件，从而给出合理的取值．