Question

【题目】已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，，为椭圆的上、下顶点，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆交于，两点，证明：在第一象限内存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，其斜率之和是与无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析，（1，）

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为，由，，的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程；

（2）设，，，，，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及斜率公式，化简计算，考虑它的和为常数，可令的系数为0，进而得到的坐标．

解：（1）设椭圆的半焦距为，则，

又由的面积为，可得，解得，或，

离心率，则时，，舍去，

则，，所以椭圆的方程为；

（2）证明：设，，，，，

将直线代入椭圆可得，

由，可得，则有，，

为与无关的常数，

可得当，时，斜率的和恒为0，解得或（舍去），

综上所述，在第一象限内满足条件的定点的坐标为．