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    【题目】已知，是椭圆：的左右两个焦点，过的直线与交于，两点（在第一象限），的周长为8，的离心率为.

    （1）求的方程；

    （2）设，为的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）根据椭圆定义可知，周长为，结合已知求出，即可求解；

    （2）若直线斜率不存在时，求出坐标，以及值，并有 ；当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，得出两点坐标关系，求出，，再求出取值范围，将表示为的二次函数，转化求二次函数的取值范围，即可求得结论.

    解：（1）由条件得解得，

    所以的方程为.

    （2）由（1）得，，，

    当直线的斜率不存在时，，，

    ，.

    当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，

    设，，由得

    ，

    则，，

    ∴

    .∴.

    因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）

    ∴，

    ∴.

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    【题目】已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点

    （1）若且点在第二象限，求点的坐标；

    （2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；

    （3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且求的值.

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    【题目】已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：

    根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

    27

    74

    182

    表中，．

    （1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；

    （2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）

    附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．

    （1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；

    （2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第年年初的总量且.不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数，，

    （1）求与的关系式

    （2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求，，，所应满足的条件

    （3）设，，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？并说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知等差数列的首项为p，公差为，对于不同的自然数，直线与轴和指数函数的图象分别交于点与（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.

    （1）求证：数列是公比绝对值小于1的等比数列；

    （2）设的公差，是否存在这样的正整数，构成以，，为边长的三角形？并请说明理由；

    （3）设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和？并请说明理由.

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    【题目】已知函数，若存在常数，对任意都有，则称函数为T倍周期函数.

    （1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由；

    （2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的；

    （3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围.

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    【题目】函数图象上不同两点，，，处的切线的斜率分别是，，规定叫曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：

    （1）函数图象上两点、的横坐标分别为1，2，则；

    （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

    （3）设点、是抛物线，上不同的两点，则；

    （4）设曲线上不同两点，，，，且，若恒成立，则实数的取值范围是；

    以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）

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    【题目】已知函数，.

    （1）讨论的单调性；

    （2）是否存在，，使得函数在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.

    参考数据：.

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