Question

【题目】已知数集，其中，且，若对，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.

（1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；

（2）已知数集具有性质，判断数列，，…，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）数集不具有性质，数集具有性质，理由见解析；（2）是等差数列，证明见解析

【解析】

(1)根据性质的定义逐个求差判断即可.

(2)根据性质的定义可先判断出,再判断可得,继而得到即可证明数列,,…,为等差数列.

解：（1）由于和都不属于集合,

所以该集合不具有性质；

由于、、、、、、、、、都属于集合,

所以该数集具有性质.

（2）∵具有性质,所以与中至少有一个属于,

由,有,故,∴,故.

∵,∴,故.

由具有性质知,,

又∵,

∴,,…,,,

即①,

由知,,,…,均不属于,

由具有性质,,,…,均属于,

∴,而,

∴,,,…,即②,

由①②可知,

即.

故,,…,构成等差数列.