Question

【题目】如图，已知四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，∥，，，．

（1）若点为中点，求证：平面；

（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）在直角梯形中根据长度关系和勾股定理，可证，再由已知条件可得面，从而有，在矩形中，可得，可证出，即证证明结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出坐标，设，，求出平面的法向量，进而求出直线与平面所成角正弦的取值范围，即可求解.

（1）法一：在直角梯形中，，

，故由勾股定理知，

取中点，则中，

，又

中，，故．

因为平面平面，交线为，

所以面．

面，故．

和，，

，故．

故，

即，即．

又，面，故面．

法二：

因为平面平面，交线为，

面且．所以面．

建立空间直角坐标系如图，则

．

，，，故

，．

，又，

面，故面．

（2）法一：因为平面平面，交线为，

面且．所以面，

建立空间直角坐标系如图，则

，

设，则

则

设平面的法向量为

∴，即，故，

取，则，故

平面的一个法向量为．

设与平面所成角为，

∴

∴当时取最大值，当时取最小值

故与平面所成角的取值范围为．

法二：根据（1）知，面．

建立空间直角坐标系如图，则，

设，则

则

设平面的法向量为

∴，即，

故，取，则，

故平面的一个法向量为

．

设与平面所成角为，

∴

，

∴当时取最大值，当时取最小值

故与平面所成角的取值范围为．