Question

已知数列{a_n}满足a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n∈N^*．
（1）求证：数列{

1

an

-1}为等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

3an

2an+1

，变形可得

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，从而可证明数列{

1

an

-1}为等比数列；
（2）假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有

m+t=2s (as-1)2=(am-1)(at-1).

，代入条件，利用基本不等式，即可得出结论．

解答：（1）证明：因为an+1=

3an

2an+1

，
所以

1

an+1

=

1

3an

+

2

3

．…（1分）
所以

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)．…（3分）
因为a1=

3

5

，则

1

a1

-1=

2

3

．…（4分）
所以数列{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列．…（5分）
（2）解：由（1）知，

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

，
所以an=

3n

3n+2

．…（7分）
假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，
则有

m+t=2s (as-1)2=(am-1)(at-1).

…（9分）
由an=

3n

3n+2

与(as-1)2=(am-1)(at-1)，
得(

3s

3s+2

-1)2=(

3m

3m+2

-1)(

3t

3t+2

-1)．…（10分）
即3^m+t+2×3^m+2×3^t=3^2s+4×3^s．…（11分）
因为m+t=2s，所以3^m+3^t=2×3^s．…（12分）
因为3m+3t≥2

3m+t

=2×3s，当且仅当m=t时等号成立，
这与m，s，t互不相等矛盾．…（13分）
所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件．…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，假设存在，引出矛盾是关键．