Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将①，②，③中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：

（1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

若补充②③根据已知可得平面，从而有，结合，可得

平面，故有，而，得到，②③成立与①②相同，

①③成立，可得，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析;

（1）设，可得，进而求出梯形的面积，可求出，即可求出结论；

（2），以为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由（1）得为平面的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

第一种情况：若将①，②作为已知条件，解答如下：

（1）设平面为平面.

∵，∴平面，而平面平面，

∴，又为中点.

设，则.

在三角形中，，

由知平面，

∴，

∴梯形的面积

，

，，

平面，

，，

∴，

故，.

（2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则

，

由（1）得为平面的一个法向量，

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

第二种情况：若将①，③作为已知条件，

则由知平面，，

又，所以平面，，

又，故为中点，即，解答如上不变.

第三种情况：若将②，③作为已知条件，

由及第二种情况知，又，

易知，解答仍如上不变.