Question

【题目】设函数，.

（1）在处的切线方程；

（2）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；

（3）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) y=0.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）先利用导数求切线的斜率，再写出切线的方程.(2)先求导得，转化为与的图像的交点有两个，再利用数形结合分析两个函数的图像得到的取值范围.(3)先转化为当时，恒成立，即

，再构造函数求其最小值，令其最小值大于零，得a的取值范围.

详解：（1）由题得所以切线方程为y=0.

（2) 当时，，，

所以有两个极值点就是方程有两个解，

即与的图像的交点有两个.

∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值又因为时，；当时，.

当时与的图像的交点有0个；

当或时与的图像的交点有1个；

当时与的图象的交点有2个；

综上.

（3）函数在点处的切线与轴平行，

所以且，因为，

所以且；

在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，

即当时，恒成立，即

，

令，∴

设，，因为，所以，∴，

∴在单调递增，即在单调递增，

∴，当且时，，

所以在单调递增；

∴成立

当，因为在单调递增，所以，，

所以存在有；

当时，，单调递减，所以有，不恒成立；

所以实数的取值范围为.