Question

【题目】已知过椭圆的左焦点，作斜率为的直线，交椭圆于两点.

（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；

（2）设点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点.设的斜率为，则是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

(1)设过点F且斜率为k的直线l的方程为，利用点到直线的距离公式，求得，即可得到所求直线的方程；

(2)设，，，，设直线AM的方程为，

联立方程组，根据根据与系数的关系，求得，所以，进而得到，同理得到，化简得到，即可得到结论．

(1)由椭圆，可知，

所以可设过点F且斜率为k的直线l的方程为，

即，设原点O到直线l的距离为d，则，

依题意有，

所以所求的直线l的方程为或.

(2)设，，，，

因为点，所以可设直线AM的方程为，

联立方程，消去y得，

整理，得.（*）

所以，是方程（*）的两实根，所以，所以，

所以.

所以

同理，，即.

所以

，

所以（定值）.