Question

【题目】从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作，）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．

（i）若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？

（ii）若该企业又生产了这种产品件，且每件产品相互独立，则这件产品质量指标值不低于的件数最有可能是多少？

附：参考数据与公式：，；若，则①；②；③．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）（i）；（ii）．

【解析】

（Ⅰ）根据频率分布直方图估计平均数的方法可直接求得；利用方差计算公式可求得样本方差；（Ⅱ）（i）根据原则可验证出，求得即为结果；（ii）根据原则可得到，从而得到这产品的质量指标值不低于的件数服从于，；根据二项分布概率公式构造不等式，解不等式可求得，从而可得结果.

（Ⅰ）

（Ⅱ）由题意知：

（i）

∴时，满足题意

即合格标准的质量指标值约为：

（ii）由

可知每件产品的质量指标值不低于的事件概率为

记这产品的质量指标值不低于的件数为

则，其中

恰有件产品的质量指标值不低于的事件概率：

则，解得：

当时，；

当时，

由此可知，在这件产品中，质量指标值不低于的件数最有可能是