Question

10．已知函数f（x）=ax²-（a+3）x-a．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，若y=f（x）在区间[0，2]上的最小值为-5，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，根据二次函数的性质，求出函数的递增区间即可；
（2）通过讨论a，得到关于a的不等式组，解出即可；
（3）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）当a=1时，函数为f（x）=x²-4x-1，
所以函数y=f（x）的增区间为[2，+∞）；
（2）由题意得函数f（x）在区间（0，+∞）上为减函数，
当a=0时，f（x）=-3x满足要求；
当a≠0时，由函数f（x）在区间（0，+∞）上为减函数，
可得：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{a+3}{2a}≤0\end{array}\right.$，得：-3≤a＜0，
综上，满足条件的实数a的解集为：[-3，0]； 
（3）∵f（x）在区间[0，2]上的最小值为-5，a＞0，
此时函数f（x）=ax²-（a+3）x-a的图象是开口朝上，对称轴为直线$x=\frac{a+3}{2a}$＞0，
若$\frac{a+3}{2a}≥2$即0＜a≤1，此时f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）_min=f（2）=-5得a=1，
若$\frac{a+3}{2a}＜2$，则a＞1，此时当$x=\frac{a+3}{2a}$时，函数f（x）取最小值，
即$a{（\frac{a+3}{2a}）^2}-（a+3）（\frac{a+3}{2a}）-a=-5$，解得$a=\frac{9}{5}$或a=1（舍去），
综上所述，$a=\frac{9}{5}$或a=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．