Question

如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，AB=AE=

2

3

AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；
（2）求四棱锥P-BEFC的体积．

Answer 1

分析：（1）利用折叠前的图形可判断BE⊥EF，由面面垂直的性质可得EF⊥平面PBE，再由线面垂直得面面垂直；
（2）取BE的中点O，连接OP，可证PO为棱锥的高，求出棱锥的底面四边形BCFE的面积与高PO，代入公式计算．

解答：解：（1）证明：∵AB=AE=

2

3

AD=4，
∴DE=

1

3

AD=

1

2

AB=2，
∵F为CD边的中点，
∴DE=DF，又DE⊥DF，
∴∠DEF=45°，
同理∠AEB=45°，
∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，
又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
EF?平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF；
（2）取BE的中点O，连接OP，
∵PB=PE，∴PO⊥BE，
又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，
即PO为棱锥P-BEFC的高，PO=2

2

SBEFC=SABCD-SABE-SDEF=6×4-

1

2

×4×4-

1

2

×2×2=14，
则V=

1

3

•SBEFC•h=

1

3

×14×2

2

=

28 2

3

．

点评：本题利用折叠问题考查了面面垂直的证明，考查了棱锥的体积计算，解答折叠性问题要利用好折叠前图形的性质与数量关系．