Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中点．

（1）若P为AB的中点证明：DE∥平面PBA1．

（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求二面角P﹣A1D﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）通过线线平行去得到线面平行，这也是线面平行证明中十分重要的手段.

（2）利用空间向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做题，一定要细心运算.

（1）证明：取的中点，连接，.

因为为的中点且,所以是△的中位线.所以PDBC，且PD＝.

又因为是的中点,且的中点为,所以是△的中位线,

所以EFBC，且EF＝,所以PD与EF平行且相等,

所以四边形是平行四边形,所以.

因为平面，平面，所以平面.

（2）解：因为平面，所以.又因为是的中点，

所以，即是的中点.由可得，是的中点.

在中,，，沿翻折至，且平面平面，

利用面面垂直的性质可得平面，以点为原点建立坐标系如图所示，

则，，，，.

设平面的法向量为，

有，

容易得到平面的法向量，

设二面角的大小为，有

，所以

.