Question

【题目】

如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ) 连结与交于，

则为的中点，为的中点，为的中位线，//. 又平面，平面//平面………………4分

（Ⅱ）(解法1)过作于，由正三棱柱的性质可知，

平面，连结，在正中，

在直角三角形中，

由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，

又得，

，

∴.故所求二面角的大小为.………………8分

解法（2）（向量法）

建立如图所示空间直角坐标系，则

．

设是平面的一个法向量，则可得

，所以即取

可得

又平面的一个法向量设则

又知二面角是锐角,所以二面角的大小是……………………………………………………………………8分

（Ⅲ）设求点到平面的距离；因，所以，故，而………………10分

由……………12分

【解析】

(Ⅰ) 连结与交于，则为的中点，

为的中点，

为的中位线，

//．又平面，平面，

//平面……… ……4分

（Ⅱ）过作于，由正三棱柱的性质可知，

平面，连结，在正中，

在直角三角形中，

由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，又得，

，

∴.故所求二面角的大小为.………………8分

解法（2）（向量法）

建立如图所示空间直角坐标系，则

.

设是平面的一个法向量，则可得

，所以即取可得

又平面的一个法向量设则

又知二面角是锐角,所以二面角的大小是……………………………………… ……………8分

（Ⅲ）设点到平面的距离；因，所以，故，而………… ……10分

由……… …12分