Question

7、已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题：
①f（x）必是偶函数；
②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；
③若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞]上是增函数；
④f（x）有最大值|a²-b|．
其中所有真命题的序号是

③

．

Answer 1

分析：当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，故①不正确；令a=0，b=-2，则f（x）=|x²-2|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x²-2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，故②不正确；若b-a²≥0，即f（x）的最小值b-a²≥0时，f（x）=（x-a）²+（b-a²），显然f（x）在[a，+∞]上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确．

解答：解：当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，①错误；
令a=0，b=-2，则f（x）=|x²-2|，
此时f（0）=f（2）=2，
但f（x）=|x²-2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，②错误；
又∵f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|，图象的对称轴为x=a．
根据题意a²-b≤0，即f（x）的最小值b-a²≥0，
f（x）=（x-a）²+（b-a²），显然f（x）在[a，+∞]上是增函数，
故③正确；
又f（x）无最大值，故④不正确．
答案：③．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．