Question

【题目】已知椭圆的离心率，且椭圆过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与交于，两点，点在上，是坐标原点，若，判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断.

解：（1）因为椭圆的离心率，所以，即.

因为点在椭圆上，所以.

由，

解得.

所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为.

当直线的斜率存在时，设直线的方程是，

联立方程组，消去，得，

，，，

.

，

点到直线的距离是.

由，得，.

因为点在曲线上，所以有，整理得.

由题意，四边形为平行四边形，所以四边形的面积为

.

由，得，故四边形的面积是定值，其定值为.