Question

【题目】如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为定值1.

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆标准方程，一般要找到两个关于的等式，由椭圆的几何性质，题中两个线段长正好提供了两个等式，一个，即为，，即为，再由，可得值；（2）本小题是定值问题的研究，首先设，，写出“椭圆点”坐标，.由已知可得它们的关系：.接着考虑直线，分类讨论斜率不存在，以及斜率存在两种情形，对斜率不存在的特殊情形可直接求出点坐标，对斜率存在时，可设方程为，代入椭圆方程后可得，从而得，代入得的关系式，此时可验证下判别式，由直线与椭圆相交的弦长公式求得，由点到直线距离公式可求得上的高，从而求得．

试题解析：（1）由题可得解得，故椭圆的标准方程为.

（2）设，，则，.由，即.（*）

①当直线的斜率不存在时，.

②当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得

，则，，同理，代入（*），整理得，此时，，∴.

综上，的面积为定值1.