Question

（本小题满分12分）

已知函数，且。

   （I）试用含的代数式表示；

   （Ⅱ）求的单调区间；

   （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点。

Answer 1

（I）

（Ⅱ）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

（Ⅲ）证明见解析。

解析:

解法一：

（I）依题意，得

     由得

（Ⅱ）由（I）得

      故

      令，则或

      ①当时，

      当变化时，与的变化情况如下表：

	+	—	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为

②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R

③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为

（Ⅲ）当时，得

     由，得

     由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为

     所以函数在处取得极值。

     故

     所以直线的方程为

     由得

     令

     易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，

     故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点

解法二：

（I）同解法一

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当时，得，由，得

由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，

故

所以直线的方程为

由得

解得

所以线段与曲线有异于的公共点。