Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为和，以点为圆心，以为半径的圆与以点为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．

（）求椭圆的方程．

（）设椭圆， 为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于、两点，射线交椭圆于点．

①求的值．

②（理科生做）求面积的最大值．

③（文科生做）当时， 面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2, ②（理）（文）.

【解析】试题分析：（）利用椭圆的定义进行求解；（）①设点，利用点在椭圆上和三点共线进行求解；②先利用点到直线的距离公式求得，再联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式、三角形的面积公式进行求解；③先利用点到直线的距离公式求得，再联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式、三角形的面积公式进行求解.

试题解析：（）设两圆的一个交点为，则， ，由在椭圆上可得，则， ，得，则，

故椭圆方程为．

（）①椭圆为方程为，

设，则有，

在射线上，设，

代入椭圆可得，

解得，即，

．

②（理）由①可得为中点， 在直线上，则到直线的距离与到直线的距离相等，

故，联立，

可得，

则， ，

，

联立，得，

，

，

当且仅当时等号成立，

故最大值为．

②（文）此时直线方程为，由①可得为的中点，而在直线上，则到直线的距离与到直线的距离相等，则，联立，

可得，

则， ， ，

联立，得，

，

．

故最大值为．