Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，分和两种情况讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可；

（2）当时，由题即在上恒成立，令且，对分和两种情况讨论，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果.求解的取值范围.

（1），.

①当时，，所以在上单调递增，无极值；

②当时，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时，函数只有一个极值点.

综上所述，当时，函数在上无极值点；

当时，函数在上只有一个极值点；

（2）当时，由题即在上恒成立，

令且，

则，

令，

则且.

（ⅰ）当时，即时，

由于，，而，

所以，故函数在上单调递增，所以，

即，故函数在上单调递增，所以，

即在上恒成立，故符合题意；

（ⅱ）当时，即时，

由于在上单调递增，

令，因为，

故在上存在唯一的，使，

因此，当时，，此时函数单调递减，所以，

即，函数在上单调递减，故，与题意不符.

综上所述，的取值范围是.